Saddlepoint tests for quantile regression

Abstract: Quantile regression is a flexible and powerful technique which allows to model the quantiles of the conditional distribution of a response variable given a set of covariates. Regression quantile estimators can be viewed as M−estimators and standard asymptotic inference is readily available based on likelihoodratio, Wald, and score-type test statistics. However, these statistics require the estimation of the sparsity function s(α) = [g(G−1(α))]−1, where G and g are the cumulative distribution function and the density of the regression errors respectively, and this can lead to nonparametric density estimation. Moreover, the asymptotic χ distribution for these statistics can provide an inaccurate approximation of tail probabilities and this can lead to inaccurate p-values, especially for moderate sample sizes. Alternative methods which do not require the estimation of the sparsity function, include rank techniques and resampling methods to obtain confidence intervals, which can be inverted to test hypotheses. These are typically more accurate than the standard M− tests. In this paper we show how accurate tests can be obtained by using a nonparametric saddlepoint test statistic. The proposed statistic is asymptotically χ distributed, does not require the specification of the error distribution, and does not require the estimation of the sparsity function. The validity of the method is demonstrated through a simulation study, which shows both the robustness and the accuracy of the new test compared to the best available alternatives. The Canadian Journal of Statistics xx: 1–29; 20?? c © 20?? Statistical Society of Canada Résumé: La régression par quantiles est une technique souple et puissante pour modéliser les quantiles de la distribution conditionnelle d’une variable en fonction d’un ensemble de covariées. Les estimateurs de la régression par quantiles peuvent être écrits comme des M−estimateurs et l’inférence asymptotique standard est disponible. Elle est basée sur des statistiques de test du type du rapport de vraisemblance, Wald et multiplicateur de Lagrange. Toutefois le calcul de ces statistiques nécessite de l’estimation de la fonction de “sparsity” s(α) = [g(G−1(α))]−1, où G et g sont la fonction de répartition et la fonction de densité des erreurs respectivement et ceci demande de l’estimation nonparamétrique. En plus la distribution asymptotique χ de ces statistiques peut donner lieu à des approximations peu précises des probabilités dans les queues de la distribution et ceci peut produire des p−valeurs imprécises surtout dans le cas d’échantillons de taille moyenne. Des méthodes alternatives qui ne nécessitent pas de l’estimation de la fonction de “sparsity” sont disponibles, par exemple les méthodes de rang et celles de reéchantillonage pour obtenir des intervalles de confiance qui peuvent être inversés afin de construire des tests. Ces méthodes sont typiquement plus précises que les M−tests standard. Dans cet article on présente une statistique nonparamétrique de pointe de selle qui permet de construire des tests très précis. Elle est asymptotiquement distribuée selon une loi du χ et elle ne nécessite ni de la spécification de la distribution des erreurs ni de l’estimation de la fonction de “sparsity”. La performance de la méthode est démontrée par une étude de simulation, qui montre la robustesse et la précision du nouveau test en comparaison avec les meilleures alternatives disponibles dans la littérature. La revue canadienne de statistique xx: 1–29; 20?? c © 20?? Société statistique du Canada